笛卡尔心形函数（心形线）的推导过程主要基于极坐标与直角坐标的转换，结合三角函数的性质。以下是详细步骤：
一、极坐标方程的建立
圆的基本方程 在极坐标系中，半径为 $a$ 的圆的方程为：
$$
r = a
$$
其中 $r$ 表示点到原点的距离，$\theta$ 表示极角。
参数化点的运动
考虑圆上一点 $（r, \theta）$ 随角度 $\theta$ 从 $0$ 增加到 $2\pi$ 的运动轨迹。当 $\theta = 0$ 时，点在 $x$ 轴上（$r = a$）；当 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 时，点在 $y$ 轴上（$r = 0$）。
二、心形曲线的生成
函数形式的选择
为了形成心形，需对圆的方程进行变形。选择函数 $r = a（1 - \sin\theta）$，其中 $a$ 为常数，控制心形的大小。
关键角度分析
- 当 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ 时，$\sin\theta > 0$，因此 $1 - \sin\theta < 1$，$r$ 从 $a$ 减小到 $0$，形成心形的左半部分。
- 当 $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ 时，$\sin\theta < 0$，$1 - \sin\theta > 1$，$r$ 从 $0$ 增大到 $2a$，形成心形的右半部分。
- 当 $\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$ 和 $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$ 时，$r$ 的变化趋势与 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ 相反，完成心形的封闭。
三、推导的几何意义
参数 $a$ 的作用： 控制心形的大小，$a$ 越大，心形越宽。 函数形式的选择依据
四、补充说明
极坐标与直角坐标的转换：若需将极坐标 $（r, \theta）$ 转换为直角坐标 $（x, y）$，可使用公式：
$$
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta
$$
代入 $r = a（1 - \sin\theta）$ 可得到直角坐标系下的参数方程。
通过上述步骤，笛卡尔利用极坐标的灵活性和三角函数的美学特性，构建了描述心形曲线的数学模型。