曲线积分是数学中一种重要的积分形式，它涉及将一个函数沿着一条特定的路径进行积分。曲线积分可以分为两类：第一类曲线积分和第二类曲线积分。
第一类曲线积分
第一类曲线积分是沿着一条曲线对向量场进行积分的过程。其一般形式为：
$$\int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}$$
其中，$C$ 是一条可求长的曲线，$\mathbf{F}$ 是一个连续可微的向量场，$d\mathbf{s}$ 表示弧长元素。
如果曲线 $C$ 的参数方程为 $\mathbf{r}（t） = （x（t）, y（t）, z（t））$，$t \in [a, b]$，则第一类曲线积分可以表示为：
$$\int_{a}^{b} \mathbf{F}(x(t), y(t), z(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \, dt$$
其中，$\mathbf{r}'（t）$ 是 $\mathbf{r}（t）$ 的导数，即切向量的模。
第二类曲线积分
第二类曲线积分是对于向量场 $\mathbf{F} = （P（x, y, z）, Q（x, y, z）, R（x, y, z））$ 沿着一条曲线 $C$ 的积分。其一般形式为：
$$\int_{C} P(x, y, z) \, dx + Q(x, y, z) \, dy + R(x, y, z) \, dz$$
如果曲线 $C$ 的参数方程为 $\mathbf{r}（t） = （x（t）, y（t）, z（t））$，$t \in [a, b]$，则第二类曲线积分可以表示为：
$$\int_{a}^{b} \mathbf{F}(r(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \, dt$$
其中，“·” 表示点乘。
格林公式和斯托克斯公式
格林公式：如果区域 $D$ 内函数 $P（x, y）$ 和 $Q（x, y）$ 具有一阶连续偏导数，且 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ 在 $D$ 内恒成立，则对于 $D$ 内任意两条起点和终点相同的分段光滑曲线 $L_1$ 和 $L_2$，有：
$$\int_{L_1} P \, dx + Q \, dy = \int_{L_2} P \, dx + Q \, dy$$
斯托克斯公式：描述了三维空间中沿曲线 $C$ 的向量场积分与以 $C$ 为边界的曲面 $S$ 上的向量场积分之间的关系。
这些公式在微分几何、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。