达朗贝尔判别法（D'Alembert's Ratio Test）是用于判别正项级数收敛性的一种方法。其基本思想是通过考察级数相邻两项的比值的极限来判断级数的敛散性。具体判别准则如下：
设正项级数为 $\sum a_n$，记
$$
L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}
$$
则：
1. 当 $L > 1$ 时，级数 $\sum a_n$ 发散；
2. 当 $L < 1$ 时，级数 $\sum a_n$ 收敛；
3. 当 $L = 1$ 时，达朗贝尔判别法失效，级数的敛散性无法确定。
证明方法
方法一：直接利用比值极限
对于正项级数 $\sum a_n$，我们考虑其相邻两项的比值：
$$
L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}
$$
若 $L > 1$
由于 $a_n > 0$，我们有 $a_{n+1} > a_n$。
这意味着序列 $\{a_n\}$ 是递增的。
因此，$\sum a_n$ 发散。
若 $L < 1$
由于 $a_n > 0$，我们有 $a_{n+1} < a_n$。
这意味着序列 $\{a_n\}$ 是递减的。
进一步，存在某个 $N$，当 $n > N$ 时，有 $0 < a_{n+1} < a_n$。
因此，级数 $\sum a_n$ 收敛。
若 $L = 1$
达朗贝尔判别法失效，级数的敛散性无法确定。
方法二：放缩法
我们可以通过放缩法来进一步说明达朗贝尔判别法的应用。
放缩
存在某个 $N$，当 $n > N$ 时，有
$$
\frac{1}{2} a_n \leq a_{n+1} \leq 2 a_n
$$
应用比值判别法
考虑级数 $\sum \frac{1}{2} a_n$ 和 $\sum 2 a_n$。
根据比值判别法，若 $\sum a_n$ 收敛，则 $\sum \frac{1}{2} a_n$ 也收敛；若 $\sum a_n$ 发散，则 $\sum 2 a_n$ 也发散。
由于 $\frac{1}{2} < 1 < 2$，根据达朗贝尔判别法，$\sum a_n$ 的敛散性与 $\sum \frac{1}{2} a_n$ 相同。
结论
达朗贝尔判别法是一种有效的工具，用于判断正项级数的敛散性。当比值极限 $L$ 不等于 1 时，可以直接应用判别准则；当 $L = 1$ 时，判别法失效，需要其他方法来判断级数的敛散性。