数学中的配方法是一种解一元二次方程的方法,其基本步骤如下:
转化
将一元二次方程化为一般形式 $ax^2 + bx + c = 0$。
移项
将常数项 $c$ 移到等式的右边,得到 $ax^2 + bx = -c$。
系数化1
如果二次项系数 $a$ 不为1,则将方程两边同时除以 $a$,使得二次项系数为1。得到 $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$。
配方
在等式的两边同时加上一次项系数 $\frac{b}{a}$ 的一半的平方,即 $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$。
左边配成完全平方形式,右边相应加上这个平方值并减去相同的值以保持等式平衡。
得到:$x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2$。
左边可以写成 $(x + \frac{b}{2a})^2$ 的形式。
求解
将等式右边进行简化,得到 $(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$。
对等式两边同时开平方,得到 $x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$。
最后,将 $\frac{b}{2a}$ 移到等式的右边,得到方程的解:
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
示例
解方程 $x^2 - 2x - 120 = 0$:
1. 转化为一般形式:$x^2 - 2x = 120$。
2. 移项:$x^2 - 2x - 120 = 0$。
3. 系数化1:$x^2 - 2x = 120$(二次项系数已经是1)。
4. 配方:$x^2 - 2x + 1 = 120 + 1$,即 $(x - 1)^2 = 121$。
5. 求解:$x - 1 = \pm 11$,得到 $x_1 = 12$,$x_2 = -10$。
通过以上步骤,我们可以将一元二次方程配成完全平方形式,并利用开平方法求解。