《伟大的友谊》的写作背景主要涉及以下几个方面：
马克思和恩格斯的友谊
马克思和恩格斯是好朋友，他们共同研究学问，共同领导国际工人运动，共同办报，编杂志，共同起草文件，创作出了《伟大的友谊》这部文章。
他们从19世纪70年代开始在伦敦生活期间，朝夕相处，每天下午恩格斯总要到马克思家里去，讨论各种政治事件和科学问题，一连谈上好几个小时，各抒已见，滔滔不绝，有时候还进行激烈的争论。
合作与共同著作
1844年8月，恩格斯从英国回德国途中，绕到法国巴黎拜访马克思，两人发现彼此的观点几乎一致，并决定第一次合著《神圣家族》。
此后，他们为了无产阶级解放事业，并肩战斗，结下了伟大的友谊，并保持了长达20年的书信交流，往来书信多达1300多封，除了讨论一些生活琐事外，多为理论问题或学术观点。
经济支持与学术帮助
马克思在搜集、创作、编写《资本论》及其他理论著作的过程中，因为没有稳定生活来源，生活艰难。恩格斯是个富二代，他与马克思相识相知后，放弃优越的生活条件，不仅从经济上散尽家财资助马克思，而且充当马克思的翻译和强有力的助手，在马克思去世后他挑起大梁，继续完成了马克思未竟的事业。
理论研究与实践
马克思和恩格斯在异地居住期间，以各自研究领域的知识相互帮助、相互促进，并制定了今后共同行动的计划，从此开始了毕生的亲密合作和伟大友谊。他们共同完成了《神圣家族》、《德意志意识形态》、《共产党宣言》等著作，这些著作在马克思主义理论形成过程中起了极为重要的作用。
综上所述，《伟大的友谊》的写作背景主要是马克思和恩格斯之间深厚的友谊、共同的研究和创作经历、经济上的相互支持以及他们在理论和实践方面的紧密合作。