数学中一些被广泛认为是最难的公式包括：
欧拉公式
\[ e^{ix} = \cos（x） + i\sin（x） \]
这个公式将复数与三角函数联系起来，揭示了圆与虚数之间的深刻联系。其推导过程复杂，但应用广泛，包括电路分析和振动分析。
傅里叶变换
\[ F（\omega） = \int_{-\infty}^{\infty} f（t） e^{-i\omega t} \, dt \]
傅里叶变换用于将一个信号或函数从时间域转换到频率域，在信号处理和图像处理等领域有广泛应用。尽管公式本身简洁，但其背后的数学理论非常深奥，算法实现也较为复杂。
薛定谔方程
\[ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V（x,t） \psi \]
薛定谔方程是量子力学的基础，描述了微观粒子的波动性质。其数学表达形式复杂，求解过程极具挑战性。
质能方程
\[ E = mc^2 \]
这个公式表明了能量和质量之间的关系，是核物理学和相对论的基础。它的简单性与其深远的影响形成了鲜明对比。
牛顿第二定律
\[ F = ma \]
这个公式描述了力、质量和加速度之间的关系，是经典力学的基础。尽管在日常生活中常用，但其背后的数学推导和物理意义非常深刻。
欧拉-拉格朗日恒等式
\[ \int_{C} （P\,dx + Q\,dy） = \int_{C} d（Q - P） \]
这个恒等式涉及多重积分和微分形式的变换，形式抽象且求解困难，揭示了自然界中振动现象的深层规律。
柯西积分公式
\[ \frac{1}{z^n} = \frac{1}{n!} \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{z^{n-1}}{z - a} \, dz \]
柯西积分公式用于计算函数的积分表示，虽然公式简洁，但其背后蕴含的数学理论极为深奥。
纳维-斯托克斯方程
\[ \nu \frac{\partial u}{\partial t} + （\mathbf{u} \cdot
abla） \mathbf{u} = -
abla p + \mu
abla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f} \]
纳维-斯托克斯方程是流体力学中的基本方程，用于描述粘性流体的运动。其复杂性在于它涉及到复杂的数学运算和物理现象的深入理解。
费马大定理
\[ x^n + y^n = z^n \quad （n > 2） \]
费马大定理描述了椭圆曲线与模形式之间的关系，其证明过程极其复杂，涉及到大量的代数运算和几何分析。
德布罗意方程组
\[ \mathbf{p} = \hbar \mathbf{k}, \quad E = \hbar \omega \]
德布罗意方程组将物质波的波长和动量联系起来，揭示了微观粒子与波动性之间的深刻联系。其推导过程也较为复杂。
这些公式不仅在数学上具有极高的价值，而且在物理学、工程学等多个领域有着广泛的应用。掌握这些公式需要深厚的数学功底和严谨的逻辑推理能力。